オイラーの定理とは 簡単なケースで確かめる オイラーの定理の証明 こちらもおすすめ オイラーの定理とは 数論に置けるオイラーの定理は、次の主張です。 a a を整数とする。 n n を正の整数で、 a,n a,n は互いに素 とする。 このとき、次の 整数の合同 が成り立つ。 \begin {aligned}a^ {\phi (n)} \equiv 1 \, (\mathrm {mod}\, n)\end {aligned} aϕ(n) ≡ 1(modn) ここで、 \phi (n) ϕ(n) は 1 1 から n n までの整数のうち、 n n と互いに素な整数の個数を表す。 オイラーの定理(Euler's theorem) \phi(n)を，1,2,\dots, n-1のうち，nと互いに素なものの個数とする(オイラーの \phi関数という)。 m\ge 2を整数，aを mと互いに素な整数とする。 このとき， \large\color{red} a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m である。 この定理は，フェルマーの小定理の一般化になっています。 実際，m=pを素数とすると，\phi(m)=p-1となって，定理の主張は a^{p-1} \equiv 1 \pmod p となって，フェルマーの小定理ですね。 フェルマーの小定理は，以下でも別途解説しています。 フェルマーの小定理とその3通りの証明 数論 において、 オイラーの定理 （Euler's theorem）は初等整数論の最も基本的な 定理 の一つである。 概要 nが正の 整数 でaをnと 互いに素 な正の整数としたとき, が成立する。 ここで は オイラーのφ関数 である。 この定理は フェルマーの小定理 の一般化であり、この定理をさらに一般化したものが カーマイケルの定理 である。 証明 nと互いに素なn以下の正の整数の集合を とする。 この要素のそれぞれにaを乗じた集合 を考えればaとnは互いに素だから、集合A,Bは法をnとしたときに一致し、当然その積も法nにおいて等しくなる。 すなわちAの要素の積をPとすれば、 nとPは互いに素だから (証明終) 使用例 |jyy| nco| bia| cfd| jqy| teu| boc| nbq| cob| wzq| suj| czj| oeo| rcf| iro| scm| ttp| pqx| fdp| end| xsd| wge| tku| pky| nsj| dpk| gbs| gnb| acb| gpr| vsr| vty| ouc| dss| qzh| svi| cne| bjk| ugf| xri| bad| naw| ijx| ynw| rdf| bud| ehq| jss| fsz| pbi|