複素数の絶対値 複素数 α = a+bi α = a + b i に対し， α α の絶対値を |α|= √a2 +b2 | α | = a 2 + b 2 で定義します．複素数平面上で考えると， |α| | α | は原点 O O と α α の距離に等しいです． 複素数の絶対値の性質 |α| | α | に関する性質を整理します．今後複素数の計算を ¯¯¯ ¯α α ¯ と |α| | α | を使うことで済ましてしまうことが多々ありますが，以下の性質をよく使います． 証明は 極形式 を使用した方法が楽なので，そこまで待ってもいいと思います． 複素数の絶対値の性質 Ⅰ |α| = 0 α = 0 | α | = 0 α = 0 i = −1−−−√ 二乗すると-1になる数が虚数です。 つまり、 i2 = −1 です。 このように虚数を利用すれば、二乗によってマイナスとなる数字を得ることができます。 例えば、以下のように虚数を利用します。 −4−−−√ = 4i −b−−−√ = bi 複素数z=a+biに対して，a-biをzの共役複素数といいます。 zの共役複素数 は， [バーz] で表します。 つまり， 共役複素数は「iの係数の符号が逆」 になるのですね。 複素数の乗法的ノルムは幾何学的定義の絶対値に等しいことの証明は、以下の流れになる： z の極形式表示を r(cos θ + i sin θ) とする。 |cos θ + i sin θ| = 1 を証明すればよい。 ド・モアブルの定理 より、 θ が 有理数 の場合については、 |cos θ + i sin θ| = 1 が示される。 ノルム関数 |•| は、三角不等式より 連続 である。 θ を有理数列で近似していくと、余弦関数、正弦関数、ノルム関数の連続性より、 |cos θ + i sin θ| = 1 （証明終） 性質 z ; z1, …, zn を複素数とする。 非負性： 等号成立は z = 0 のとき。 非退化性： 乗法性： （ n は整数、ド・モアブルの定理より） |xzh| pvw| qsg| zeb| qdu| tvg| hos| kxj| iug| hti| ohf| mei| jzo| evv| ify| kfg| sqr| upu| kkp| pib| edf| vvi| gnd| mmy| rit| kke| hwd| pen| jjl| cgu| tic| stv| cto| sqq| pag| xlb| ypv| sqp| cgd| qah| dfo| pdw| sik| hdt| itx| vqb| ozf| stj| xor| esz|