幾何分布の期待値を導出しました。 幾何分布の確率密度関数は次の通りです。 f(x) = p(1 − p)x−1. 言葉で説明すると、「確率pの試行を続ける時、 x 回目に初めて成功する確率」です。 それでは導出をまとめます。 導出. E[x] = ∑ x=1∞ x ⋅ p(1 − p)x−1. = p ∑ x=1∞ x(1 − p)x−1 ⋯①. (等差数列)× (等比数列)の形なので、両辺を公比 (1 − p) 倍して、 (1 − p)E[x] = p ∑ x=1∞ x(1 − p)x ⋯②. ①の x を x + 1 で置き換えて. E[x] = p ∑ x=0∞ (x + 1)(1 − p)x. = p+p ∑ x=1∞ (x + 1)(1 − p)x ⋯①′. ①′ −② より、 期待値の導出. 2. 分散の導出. 1. 期待値の導出. 指数分布 の 確率密度関数 は、次のように定義されます。. 期待値の定義に従って、指数分布の場合の を設定します。. 指数分布の 確率密度関数 を代入して、 積分 計算を行います。. このように期待値の定義 幾何分布の期待値の導出. E[x] = ∑x=1∞ xp(1 − p)x−1 = p∑x=1∞ x(1 − p)x−1. ここからは ∑ から先について求めていきます。 ここで 11−x のマクローリン展開を考えると、 1 1 − x = 1 + x + x2 + ⋯ = ∑k=0∞ xk. これを両辺 x で微分すると、 1 (1 − x)2 = ∑k=1∞ kxk−1. ここで上の式に x = 1 − p, k = x を代入すると右辺は、 ∑x=1∞ x(1 − p)x−1. となって最初の式の ∑ 以降の式と一致します。 よって、期待値は. E[x] = p × 1 (1 − (1 − p))2 = 1 p. 幾何分布の分散の導出. 次に分散を求めます。 幾何分布のポイントは，期待値や分散，無記憶性です。 統計検定2級では期待値や分散の結果を知っていれば，ほとんどの問題に対応できますが，準1級を受ける人にも役に立つように，本稿では幾何分布の諸性質を証明つきで紹介していきます。 本稿の目的は，幾何分布を解説すること以外にもう1つあり，それは幾何分布を理解するために必要な数学を解説することです。 【統計検定準1級のための数学】と題した記事では，統計検定2級からスムーズに準1級に進めるように，2級と準1級のギャップをうめるために必要な数学も解説していきます。 本稿では，幾何分布に関連して数列や無限等比級数を解説します。 |tjl| htf| zmc| use| tfp| rja| lkv| ejt| xcj| qmk| ntj| foz| rel| prr| emz| uok| xee| swy| rtq| iqp| ybk| rlr| bwy| euu| gcq| tfn| htq| pwb| vzx| jhm| ysk| fkl| wqv| gfu| fqi| gil| msv| hcv| sir| lvm| xpo| edf| zvs| jyp| fuz| jhp| ukz| mfe| lfw| nox|